D是△ABC内的一点,且AB²-AC²=BD²-DC²,求证AD⊥BC
D是△ABC内的一点,且AB²-AC²=BD²-DC²,求证AD⊥BC
请用向量的方法解此题
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赞 cherry2008su 幼苗
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为省事,向量符号就不打了啊~
由已知,|AB|^2-|BD|^2=|AC|^2-|CD|^2
|AB|^2-|BD|^2=(AB+BD)·(AB-BD)=AD·(AB-BD).
|AC|^2-|CD|^2=(AC+CD)·(AC-CD)=AD·(AC-CD).
所以0=AD·[(AB-BD)-(AC-CD)]=AD·[(AB-AC)+(CD-BD)]=2AD·CB.即AD⊥BC.
由已知,|AB|^2-|BD|^2=|AC|^2-|CD|^2
|AB|^2-|BD|^2=(AB+BD)·(AB-BD)=AD·(AB-BD).
|AC|^2-|CD|^2=(AC+CD)·(AC-CD)=AD·(AC-CD).
所以0=AD·[(AB-BD)-(AC-CD)]=AD·[(AB-AC)+(CD-BD)]=2AD·CB.即AD⊥BC.
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