（2012•柳州一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．

解题思路：（1）已知抛物线图象上三个不同点的坐标，利用待定系数法即可确定该函数的解析式．
（2）由图象不难看出，△ABC的面积是一定的，所以只需看△CBD的面积和点D的横坐标之间的关系；过点D作x轴的垂线，交直线BC于点F，已知直线BC和抛物线的解析式，可由点D的横坐标求出点D、F的纵坐标，它们的差就是线段DF的长，以DF为底、OB为高可求出△BCD的面积表达式，再根据所得函数的性质即可确定△BCD的面积最大时（即四边形ABDC的面积最大时）点D的坐标．
（3）设过点D的直线与y轴的交点为G，当DG∥BC时，四边形DFCG是个平行四边形，此时DF=GC，由此确定点G的坐标，进而由待定系数法确定出直线DG的解析式，联立直线DG和抛物线的解析式，消去y后，判断所得一元二次方程的根的判别式是否为0即可．

（1）设所求抛物线为y=a（x-x₁）（x-x₂）
∴该抛物线经过点A（-1，0）、B（4，0）
∴y=a（x-+1）（x-4）
∵抛物线经过点C（0，2）
∴2=-4a
∴a=−
1
2
∴y=−
1
2x2+
3
2x+2．

（2）∵点D在抛物线上
∴D（a，−
1
2a2+
3
2a+2）
过点D作DE⊥X轴，交BC于点F
∵过BC的直线为y=−
1
2x+2
∴F(a，−
1
2a+2)
∴DF=−
1
2a2+
3
2a+2+
1
2a−2＝−
1
2a2+2a
∴S_{四边形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD=
1
2×2×5+
1
2×4×(−
1
2a2+2a)＝−a2+4a+5
∴当a=2时，S最大值等于9
∴D（2，3）．

（3）∵过点D的直线l∥BC交y轴于点G
∵四边形CFDG是平行四边形
∴DF=CG=2
∴G（0，4）
∴直线：y=−
1
2x+4
∴−
1
2x+4=−
1
2x2+
3
2x+2
∴x²-4x+4=0
∴△=16-16=0
∴直线与抛物线只有一个交点．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题的难度不大，主要涉及了函数解析式的确定、图形面积的解法以及函数图象交点的解法等基础知识；（3）题也可由两直线平行，那么斜率相同（即k值相等）来确定直线的解析式．