如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,E为AD边的中点,折叠菱形,使点B落在点E处,折痕GF分别交AB、BC于点G、F
如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,E为AD边的中点,折叠菱形,使点B落在点E处,折痕GF分别交AB、BC于点G、F,求AG︰BG.
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郭敦顒回答：
设菱形的边长为1,则AB=BC=AD=1,AE=1/2,
∠BAE=120°,
在△ABE中,按余弦定理：cosA=（1+1/4－BE²）/（2×1×1/2）=－1/2,
（1+1/4－BE²）=－1/2,BE²=7/4,BE=（1/2）√7,
按正弦定理有：BE/sin∠A=AE/sin∠ABE,
[（1/2）√7]/ sin120°=（1/2）/ sin∠ABE,
sin∠ABE=[0.5×（1/2）√3]/[ （1/2）√7]=（1/14）√21=0.327327,
∴∠ABE=19.1066°,∠GBQ=∠ABE（同角）,∠GBQ=19.1066°,
BE⊥GF于Q,则Q为BE的中点,BQ=BE/2=（1/4）√7,
∴BG=BQ/ cos∠GBQ=[（1/4）√7]/ cos19.1066°=0.7,
BG=0.7,AG=1－0.7=0.3,
∴AG：BG=0.3：0.7,
AG：BG=3：7.
（注意,在原图上BE与FG交点处标明点Q）
设菱形的边长为1,则AB=BC=AD=1,AE=1/2,
∠BAE=120°,
在△ABE中,按余弦定理：cosA=（1+1/4－BE²）/（2×1×1/2）=－1/2,
（1+1/4－BE²）=－1/2,BE²=7/4,BE=（1/2）√7,
按正弦定理有：BE/sin∠A=AE/sin∠ABE,
[（1/2）√7]/ sin120°=（1/2）/ sin∠ABE,
sin∠ABE=[0.5×（1/2）√3]/[ （1/2）√7]=（1/14）√21=0.327327,
∴∠ABE=19.1066°,∠GBQ=∠ABE（同角）,∠GBQ=19.1066°,
BE⊥GF于Q,则Q为BE的中点,BQ=BE/2=（1/4）√7,
∴BG=BQ/ cos∠GBQ=[（1/4）√7]/ cos19.1066°=0.7,
BG=0.7,AG=1－0.7=0.3,
∴AG：BG=0.3：0.7,
AG：BG=3：7.
（注意,在原图上BE与FG交点处标明点Q）
1年前 追问
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郭敦顒继续回答：
连CE，则CE⊥BC，CE=（1/2）√3，BC=1，
∴BE=√（BC²+CE²）=√[1+3/4]=（1/2）√7
∴BQ=EG=BE/2=（1/4）√7，
设BF=EF=b，则CF=1－b，
∴在Rt⊿EFC中，b²－（1－b）²=3/4，2b=7/4，
∴b=7/8，BF=EF=7/8
FQ=√（BF²－BQ²）=√（49/64－7/16）=√（21/64）=（1/8）√21
FQ=（1/8）√21，
作FK⊥AB于K，交BE于M，∵∠B=60°
∴BK=BF/2=7/16，
FK=[（1/2）√3]7/8=（7/16）√3，
以下通过相似Rt⊿，由比例线段求得最终结果，但计算很复杂，详略，你不妨一试。
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你能帮帮他们吗