一道高数极限的问题1.设函数f（x）与g（x)在点x0出连续,证明函数h（x)=max{f(x);g(x)},t(x)=

证法一：此题分两步证明.
（1）当f(x)≥g(x)时,h(x)=max{f(x);g(x)}=f(x),t(x)=min{f(x);g(x)}=g(x)
∵函数f(x)与g(x)在点x0处连续
∴根据连续定义知,lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x-x0)g(x)=g(x0)
∵lim(x-x0)h(x)=lim(x-x0)f(x)=f(x0)=h(x0)
lim(x-x0)t(x)=lim(x-x0)g(x)=g(x0)=t(x0)
∴根据连续定义知,函数h(x)与t(x)在点x0处连续；
（2）当f(x)＜g(x)时,h(x)=max{f(x);g(x)}=g(x),t(x)=min{f(x);g(x)}=f(x)
∵函数f(x)与g(x)在点x0处连续
∴根据连续定义知,lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x-x0)g(x)=g(x0)
∵lim(x-x0)h(x)=lim(x-x0)g(x)=g(x0)=h(x0)
lim(x-x0)t(x)=lim(x-x0)f(x)=f(x0)=t(x0)
∴根据连续定义知,函数h(x)与t(x)在点x0处连续；
故综合(1)与(2)的结论知,
当f(x)与g(x)在点x0处连续时,函数h(x)=max{f(x);g(x)},t(x)=min{f(x);g(x)}在点x0处也连续.证毕.
证法二：∵h(x)=max{f(x);g(x)}=1/2[f(x)+g(x)+│f(x)-g(x)│]
t(x)=min{f(x);g(x)}=1/2[f(x)+g(x)-│f(x)-g(x)│]
且f(x)与g(x)在点x0处连续,即lim(x->x0)f(x)=f(x0),lim(x->x0)g(x)=g(x0)
∴lim(x->x0)h(x)=lim(x->x0){1/2[f(x)+g(x)+│f(x)-g(x)│]}
=1/2[f(x0)+g(x0)+│f(x0)-g(x0)│]
=h(x0)
lim(x->x0)t(x)=lim(x->x0){1/2[f(x)+g(x)-│f(x)-g(x)│]}
=1/2[f(x0)+g(x0)-│f(x0)-g(x0)│]
=t(x0)
故根据连续定义知,函数f(x)与g(x)在点x0处连续.证毕.

1。设函数f（x）与g（x)在点x0出连续，证明函数h（x)=max{f(x);g(x)}，t(x)=min{f(X);g(X)}在点x0处连续。
即证明 h（x0)-=h（x0)+
右题意可知 f(x0)-= f(x0)+；g(x0)-= g(x0)+（连续）
当h（x0)-=f(x0)-》=g(x0)-
g(x0)+=g(x0)-《=f(x0)+=h（x0...

【由于:
| { |f(x)-g(x)|-|f(x0)-g(x0)| } |
≤ | {|[f(x)-g(x)]-[f(x0)-g(x0)]|} |
≤ |f(x)-f(x0)| + |g(x)-g(x0)| ， 所以：】
∵ 函数f（x）与g（x)在点x0处连续;
∴ |f(x)-g(x)| 点x0处连续 ；
∴
h(x)=...