（2007•汕头二模）已知函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+3（m+2）x+1，其中m∈R．

（I）∵f（x）=mx³-3（m+1）x²+3（m+2）x+1，
∴f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m(x−1)[x−(1+
2
m)]…（2分）
当m＜0时，有1＞1+
2
m，
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：

x (−∞，1+
2
m) 1+
2
m (1+
2
m，1) 1 （1，+∞）
f'（x） ＜0 0 ＞0 0 ＜0
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减…（4分）
故有上表知，
当m＜0时，f（x）
在(−∞，1+
2
m)单调递减，
在(1+
2
m，1)单调递增，
在（1，+∞）上单调递减．…（5分）
（Ⅱ）由已知得f'（x）＞3m，
即mx²-2（m+1）x+2＞0
又m＜0，
所以x2−
2
m(m+1)x+
2
m＜0（x∈[-1，1]） ①…（6分）
设g(x)＝x2−2(1+
1
m)x+
2
m，
其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
∴

g(−1)＜0
g(1)＜0⇒

1+2+
2
m+
2
m＜0
−1＜0…（8分）
解之得m＞−
4

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，熟练掌握导数在研究函数单调性和极值的方法和步骤是解答的关键．