1/[n^(1+1/n)] 等价于 1/n

是等价,但不是因为n趋于无穷大时1/n为零.n趋于无穷大时1/n为零,只能说明1/n是无穷小量,并不能说明
1/[n^(1+1/n)] 等价于 1/n
要证明1/[n^(1+1/n)] 等价于 1/n,只需证明：
lim[n-->∞]{1/[n^(1+1/n)]/(1/n)}=1
而
lim[n-->∞]{1/[n^(1+1/n)]/(1/n)}
=lim[n-->∞]{n/[n^(1+1/n)]}
=lim[n-->∞][1/n^(1/n)]
所以,只需证明lim[n-->∞]n^(1/n)=1,为此需要证明lim[x-->∞]x^(1/x)=1
lim[x-->∞]x^(1/x)=lim[x-->∞]e^(1/xlnx)
=e^lim[x-->∞]lnx/x 利用洛必达法则
lim[x-->∞]lnx/x =lim[x-->∞]1/x =0
∴lim[x-->∞]x^(1/x)=1
从而,lim[n-->∞]{1/[n^(1+1/n)]/(1/n)}=1,1/[n^(1+1/n)] 等价于 1/n