（1）已知圆S：x2+y2=a2（a＞0），直线l1：y=k1x+p交圆S于C、D两点，交直线l2：y=k2x于E点，若
（1）已知圆S：x2+y2=a2（a＞0），直线l1：y=k1x+p交圆S于C、D两点，交直线l2：y=k2x于E点，若k1•k2=-1，证明：E是CD的中点；
（2）已知椭圆T：
+
＝1(a＞b＞0)，直线l1：y=k1x+p交椭圆T于C、D两点，交直线l2：y=k2x于E点，若k1•k2＝−
．问E是否是CD的中点，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
（2）已知椭圆T：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
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解题思路：（1）联立直线l1，l2的方程，联立直线l1与圆的方程，确定CD中点坐标，利用韦达定理，即可得到结论；
（2）联立直线l1，l2的方程，联立直线l1与圆的方程，确定CD中点坐标，利用韦达定理，即可得到结论．
（2）联立直线l1，l2的方程，联立直线l1与圆的方程，确定CD中点坐标，利用韦达定理，即可得到结论．
证明：（1）若k1•k2=-1，则l2：y＝−
1
k1x，与l1：y=k1x+p联立解得xE＝−
k1p
1+k12．
将l1：y=k1x+p与S：x2+y2=a2（a＞0）联立消去y，整理得(1+k12)x2+2k1px+p2−a2＝0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为M（x0，y0），
则x0＝
x1+x2
2＝
1
2(−
2k1p
1+k12)＝−
k1p
1+k12＝xE，
所以E与M重合，故E是CD的中点．…（8分）
（2）证明：若k1•k2＝−
b2
a2，则L2：y＝−
b2
a2k1x，与l1：y=k1x+p联立，解得xE＝−
a2k1p
b2+a2k12．
将l1：y=k1x+p与T：
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)联立消去y，整理得(b2+a2k12)x2+2a
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系．
考点点评： 本题考查直线与直线，直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
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