已知函数f（x）=lnx，g(x)＝ax+a−1x+1（a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．

（1）F（x）=f（x）-g（x）=lnx−ax−
a−1
x−1
∵以F（x）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤1恒成立，
∴F′(x)＝−
ax2−x+1−a
x2≤1（x＞0）恒成立，
∴（a+1）x²-x-（a-1）≥0①在x＞0时恒成立．
当a≤-1时，①在x＞0时不恒成立
a＜-1时，△=4a²-3，设u（x）=（a+1）x²-x-（a-1），则

a+1＞0
△＜0或

a+1＞0
△＞0
u(0)＝1−a≥0
x＝−
−1
2(a+1)＜0
∴−

3
2＜a＜

3
2；
（2）F′(x)＝−
ax2−x+1−a
x2(x＞0)
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
当a=0时，h（x）=1-x，x∈（0，1）时，h′（x）＞0；x∈[1，+∞）时，h′（x）≤0
∴F（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是[1，+∞）；

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论是数学思想，属于中档题．