设T是一个有理数集,并且X>0且x平方小于2.证明：T在有理数上没有上确界?

20006295 1年前 已收到2个回答 举报
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远方的鱼 幼苗

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反证法.设既约分数p/q是T的上确界.熟知√2不是有理数,所以(p/q)²≠2.
若(p/q)²0 => 2q²-p²≥1.取一个充分大的k使得k²>2kp+1.记a=(kp+1)/kq∈T,容易验证a²p/q,这与p/q是T的上界矛盾!
若(p/q)²>2,2q²-p² p²-2q²≥1.取一个充分大的k使得k²>2kp-1.记a=(kp-1)/kq∈T,容易验证a²>2,故a是T在有理数集中的一个上界.但a

1年前

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樱花小精灵 幼苗

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反证法。
设有一个确定的上界t，他属于这个集合，那么他是这个集合里最大的数。
构造一个数p=(2+t)/2=1+t/2 （其实就是t和2的平均数）
可以证明p>t，并且p也是这个集合的，这就说明假设不成立。
p>t证明如下：p-t=1+t/2-t=(2-t)/2>0，所以p>t.

1年前

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