设A为m×n矩阵，且r（A）=r（.A）=r＜n，其中.A=（A⋮b）．

解题思路：（Ⅰ）可以设有一组基础解系，满足题意有一组解，利用线性无关定义，写出表达式，证出与题意相矛盾的结论，假设不成立．
（Ⅱ）将方程组的系数化为矩阵来计算，利用秩的关系，求解出方程式的通解即可．

（Ⅰ） 令ξ₁，ξ₂…，ξ_n-r为AX=0的基础解系，0为AX=b的特解，
显然β₀=η₀，β₁=ξ₁+η₀，…，β_n-r=ξ_n-r+η₀为AN=b的一组解，
令k₀β₀+k₁β₁+…+k_n-rβ_n-r=0，即
k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-rξ_n-r+（k₀+k₁+…+k_n-r）η₀=0．
上式左乘A得（k₀+k₁+…+k_n-r）b=0，
因为b≠0时，k₀+k₁+…+k_n-r=0，
于是k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-rξ_n-r=0，
因为ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r为AX=0的基础解系，
所以k₁=k₂=…=k_n-r=0，于是k₀=0，故β₀，β₁，…，β_n-r线性无关．
若γ₀，γ₁，…，γ_n-r+1，为AX=b的线性无关解，
则ξ₁=γ₁-γ₀，…，ξ_n-r+1=γ_n-r+1-γ₀为AX=0的解，令k₁ξ₁+k_2rξ₂+…+k_n-r+1ξ_n-r+1=0，则
k₁γ₁+k₂γ₁+…+k_n-r+1γ_n-r+1一（k₁+k₂+…+k_n-r+1）γ₀=0．
因为γ₀，γ₁，…，γ_n-r+1线性无关，
所以k₁=k₂=…=k_n-r+1=0，即ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r+1，为AX=0的线性无关解，矛盾，
故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．
（Ⅱ）令A=

1111
435−1
213a，X=

x1
x2
x3
x4，β＝

−

点评：
本题考点： 向量组线性无关的判定与证明．

考点点评： 本题主要考查向量线性无关的判定与证明，结合方程组系数矩阵和增广矩阵的秩可以求出通解，本题属于综合题，有点难度．