以正3,4,5,6棱柱顶点为顶点的平面共有多少个,正n棱柱呢?正方体中四面体58个,四棱柱48个；正5棱柱

其实计数也不是很难,只是n要分奇偶.
1.作为准备,先讨论一下正n边形的对角线的分类.
当n = 2k,正n边形中的边和对角线可分为两类.
一类与某条边平行(或重合),与之平行(或重合)的边和对角线有k条.
换句话说,过任何一个顶点都有与之平行(或重合)的边或对角线.
这类边和对角线共k组,每组k条,共k² = n²/4条.
另一类不与任何边平行(或重合),与之平行(或重合)的对角线有k-1条.
可知有两个顶点处没有与之平行(或重合)的边或对角线,
也即恰有2k-2 = n-2个顶点处有与之平行(或重合)的边或对角线.
这类边和对角线共C(2k,2)-k² = k²-k = n(n-2)/4条.
当n = 2k+1,正n边形中的边和对角线一定与某条边平行(或重合).
可知有一个顶点处没有与之平行(或重合)的边或对角线,
也即恰有2k = n-1个顶点处有与之平行(或重合)的边或对角线.
2.下面计算过正n棱柱的至少三个顶点的平面个数.
n棱柱总共2n个顶点,三点组有C(2n,3)组,由于没有三点共线,任意一个三点组可确定一个平面.
其中2C(n,3)组在两个底面上,因此两个底面多算了2C(n,3)-2次.
当三点组不全在同一底面,一定有一个底面包含其中两个,确定底面的一条边或对角线.
在另一底面上与之平行的边或对角线会构成一组四点共面(且不会有其它顶点在该平面上).
当n = 2k,两个底面共有第一类边或对角线n²/2条.
另一底面上的任一顶点(有2k = n个)处都有与之平行的边或对角线.
这样的三点组共n³/2组,实际确定n³/8个不同平面,多算了3n³/8次.
两个底面共有第二类对角线n(n-2)/2条.
另一底面上的n-2个顶点处有与之平行的边或对角线.
这样的三点组共n(n-2)²/2组,实际确定n(n-2)²/8个不同平面,多算了3n(n-2)²/4次.
因此共有平面C(2n,3)-(2C(n,3)-2)-3n³/8-3n(n-2)²/8个.
展开得(n³+2n²-6n+8)/4.
当n = 2k+1,两个底面共有边或对角线2C(n,2) = n(n-1)条.
另一底面上的n-1个顶点处有与之平行的边或对角线.
这样的三点组共n(n-1)²组,实际确定n(n-1)²/4个平面,多算了3n(n-1)²/4次.
因此共有平面C(2n,3)-(2C(n,3)-2)-3n(n-1)²/4个.
展开得(n³+2n²-3n+8)/4.
3.下面计算正n棱柱中四面体的个数.
首先四点组共有C(2n,4)组,其中2C(n,4)组在两个底面上(约定C(3,4) = 0).
剩下需要排除的是前面算过的四点共面的情形.
n = 2k时,共有四面体C(2n,4)-2C(n,4)-n³/8-n(n-2)²/8 = n(n-2)(7n²-7n+3)/12个.
n = 2k+1时,共有四面体C(2n,4)-2C(n,4)-n(n-1)²/4 = n(n-1)(7n²-14n+3)/12个.
4.最后算正n棱柱中四棱锥的个数(标题打错了吧).
首先一类四棱锥底面与n棱柱底面重合,底面与正n边形中的四边形一一对应.
底面有2C(n,4)种可能,顶点有n种选择,此类四棱锥共n²(n-1)(n-2)(n-3)/12个.
第二类四棱锥底面为前面算过的共面的四点,顶点可在剩下2n-4个点中任取.
n = 2k时,第二类四棱锥共(2n-4)(n³/8+n(n-2)²/8) = n(n-2)(n²-2n+2)/2个.
四棱锥总数n(n-2)(n³+2n²-9n+12)/12.
n = 2k+1时,第二类四棱锥共(2n-4)n(n-1)²/4 = n(n-1)²(n-2)/2个.
四棱锥总数n(n-1)(n-2)(n²+3n-6)/12.
由于四棱锥的总数是关于n的5次多项式,而四面体只是4次,
因此n充分大时四棱锥要比四面体多很多.
把结果汇总一下.
平面数:
当n为偶数:(n³+2n²-6n+8)/4,当n为奇数:(n³+2n²-3n+8)/4.
四面体数:
当n为偶数:n(n-2)(7n²-7n+3)/12,当n为奇数:n(n-1)(7n²-14n+3)/12.
四棱锥数:
当n为偶数:n(n-2)(n³+2n²-9n+12)/12,当n为奇数:n(n-1)(n-2)(n²+3n-6)/12.