设f（x）=[a/x]+xlnx，g（x）=x3-x2-3．

（本小题满分14分）
（Ⅰ）∵g（x）=x³-x²-3，∴g′(x)＝3x(x−
2
3)…（2分）
由g′(x)＝3x(x−
2
3)=0，得x=0或x=[2/3]，
列表讨论，得：

x0（0，[2/3]）[2/3]（[2/3]，2）2
g′（x）-0+
g（x）-3↘极 小值-[85/27]↗1由上表可知：g（x）在区间[0，2]上的最大值为1，最小值为-[85/27]．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只须证明：
当a≥1时，对∀x∈（0，2]，f（x）≥1．…（8分）
又f（x）=[a/x+xlnx≥
1
x+xlnx，…（10分）
令h（x）=
1
x+xlnx，h′(x)＝
x2−1
x2+lnx，…（12分）

x（0，1）1（1，2）
h′（x）-0+
h（x）↘极 小值1↗由上表可知：h（x）_min=h（1）=1，
∴当a≥1时，对∀x∈（0，2]，f（x）≥1．…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．

1年前

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