已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．

（1）∵函数f（x）图象经过原点，∴设f（x）=ax ² +bx（a≠0），
∵f（x-1）=f（x）+x-1，
∴a（x-1） ² +b（x-1）=ax ² +bx+x-1，即ax ² -（2a-b）x+a-b=ax ² +（b+1）x-1，
∴

-(2a-b)=b+1
a-b=-1 ，解得a=-
1
2 ，b=
1
2 ．
∴ f(x)=-
1
2 x 2 +
1
2 x ．
（2）由F（x）=4f（a ^x ）+3a ^2x -1（a＞0且a≠1），得F（x）=a ^2x +2a ^x -1，
①当a＞1时，令t=a ^x ，
∵x∈[-1，1]，∴ t∈[
1
a ，a] ，
∴g（t）=t ² +2t-1=（t+1） ² -2， t∈[
1
a ，a] ，
∵对称轴t=-1，∴g（t）在 [
1
a ，a] 上是增函数．
∴g（a）=a ² +2a-1=14，∴a ² +2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；
②当0＜a＜1时，
令u=a ^x ，∵x∈[-1，1]，∴ u∈[a，
1
a ] ，
∴g（u）=u ² +2u-1=（u+1） ² -2， u∈[a，
1
a ] ，
∵对称轴u=-1，∴g（u）在 [a，
1
a ] 上是增函数．
∴ g(
1
a )=(
1
a ) 2 +
2
a -1=14 ，∴
1
a =3，
1
a =-5 （舍），∴ a=
1
3 ，
综上 a=
1
3 或a=3．