在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1的一个顶点坐标为A（2，0），且抛物线y=[1/4]x2的焦点
在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
+
=1的一个顶点坐标为A（
，0），且抛物线y=[1/4]x2的焦点是椭圆C1的另一个顶点．
（l）求椭圆C1的方程；
（2）①若直线l：y=kx+m同时与椭圆C1和曲线C2：x2+y2=[4/3]相切，求直线l的方程．
②若直线l：y=kx+m与椭圆C1交于M，N，且直线OM的斜率是kOM与直线ON的斜率kON满足kOM+kON=4k（k≠0），求证：m2为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
（l）求椭圆C1的方程；
（2）①若直线l：y=kx+m同时与椭圆C1和曲线C2：x2+y2=[4/3]相切，求直线l的方程．
②若直线l：y=kx+m与椭圆C1交于M，N，且直线OM的斜率是kOM与直线ON的斜率kON满足kOM+kON=4k（k≠0），求证：m2为定值．
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解题思路：（1）由已知条件得椭圆C1：
+
=1的一个顶点坐标为A（
，0），另一个顶点为（0，1），由此能求出椭圆C1的方程．
（2）①由
，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用根的判断式和椭圆C1和曲线C2相切，能求出直线l的方程．
②设M（x1，y1），N（x2，y2），由此利用韦达定理结合已知条件能证明m2为定值[1/2]．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
（2）①由
|
②设M（x1，y1），N（x2，y2），由此利用韦达定理结合已知条件能证明m2为定值[1/2]．
（1）∵抛物线y=[1/4]x2的焦点为（0，1），
∴椭圆C1：
x2
a2+
y2
b2=1的一个顶点坐标为A（
2，0），另一个顶点为（0，1），
∴a=
2，b=1，
∴椭圆C1的方程为
x2
2+y2＝1．
（2）①由
x2
2+y2＝1
y＝kx+m，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，（*）
△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）=0，
即2k2-m2+1=0，①
直线l与x2+y2＝
4
3相切，则
4
3＝
|m|
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的平方为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
1年前
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