赞 无剑无痕 幼苗
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设y=y(x)是一个连续函数,且满足关系式y(x)=cos2x+【0,x】∫y(t)sintdt,求y(x)
dy/dx=-2sin2x+ysinx.(1)
dy/dx-ysinx=-2sin2x
先求齐次方程dy/dx-ysinx的通解.
分离变量得dy/y=sinxdx；积分之得lny=-cosx+lnC₁；故y=e^(-cosx+lnC₁)=C₁e^(-cosx)；
将C₁换成x的函数u,得y=ue^(-cosx).(2)
将(2)对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(-cosx)+u[e^(-cosx)]sinx.(3)
将(2)和(3)代入(1)式得：
(du/dx)e^(-cosx)+u[e^(-cosx)]sinx=-2sinx+[ue^(-cosx)]sinx
化简得(du/dx)e^(-cosx)=-2sinx
分离变量得du=-2sinxe^(cosx)dx
积分之,得u=-2∫sinxe^(cosx)dx=2∫e^(cosx)d(cosx)=2e^(cosx)+C
代入(2)式即得通解y=[2e^(cosx)+C]e^(-cosx)=2+Ce^(-cosx).
dy/dx=-2sin2x+ysinx.(1)
dy/dx-ysinx=-2sin2x
先求齐次方程dy/dx-ysinx的通解.
分离变量得dy/y=sinxdx；积分之得lny=-cosx+lnC₁；故y=e^(-cosx+lnC₁)=C₁e^(-cosx)；
将C₁换成x的函数u,得y=ue^(-cosx).(2)
将(2)对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(-cosx)+u[e^(-cosx)]sinx.(3)
将(2)和(3)代入(1)式得：
(du/dx)e^(-cosx)+u[e^(-cosx)]sinx=-2sinx+[ue^(-cosx)]sinx
化简得(du/dx)e^(-cosx)=-2sinx
分离变量得du=-2sinxe^(cosx)dx
积分之,得u=-2∫sinxe^(cosx)dx=2∫e^(cosx)d(cosx)=2e^(cosx)+C
代入(2)式即得通解y=[2e^(cosx)+C]e^(-cosx)=2+Ce^(-cosx).
1年前 追问
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先修正一个笔误：第4行：先求齐次方程dy/dx-ysinx的通解，少写一个等号，应修正为“先求齐 次方程dy/dx-ysinx=0的通解。” 运算过程中出了点差错：第9行把-2sin2x写成了-2sinx；现从第9行开始，重作如下： (du/dx)e^(-cosx)+u[e^(-cosx)]sinx=-2sin2x+[ue^(-cosx)]sinx 化简得(du/dx)e^(-cosx)=-2sin2x 分离变量得du=-2sin2xe^(cosx)dx积分之， 得u=-2∫sin2xe^(cosx)dx=-4∫sinxcosxe^(cosx)dx=4∫cosxd[e^cosx) =4[cosxe^(cosx)-∫e^(cosx)d(cosx)]=4[cosxe^(cosx)-e^(cosx)]+C =4(cosx-1)e^(cosx)+C 代入(2)式即得通解为： y=[4(cosx-1)e^(cosx)+C]e^(-cosx) =4(cosx-1)+Ce^(-cosx) 由原题可知：x=0时y=1，代入，得C=e; 故得特解为：y=4(cosx-1)+e^(1-cosx). 你的答案是对的！都怪我粗心！漏写一个等号，又漏写一个2，最后又没复查！
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1年前1个回答
你能帮帮他们吗
精彩回答
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1年前
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1年前
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上半年、下半年的英文缩写?比如,第一季度常用Q1,那么上半年、下半年呢?
1年前