一个公差不为0的等差数列{an}，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}，的第1、3、5项．

（1）设数列{a_n}的公差为d，∴a₄=a₁+3d，a₁₆=a₁+15d
又b₁=a₁，b₃=a₄，b₅=a₁₆∴b₃²=b₁b₅
∴（a₁+3d）²=a₁（a₁+15d），∴9a₁d=9d²．∵d≠0，a₁=d．
∴d=1，a_n=n．
又{b_n}的公比为q，∴q²=
b3
b1=
a4
a1=4，而b_n＞0，∴q＞0，∴q=2，
∴b=2^n-1．
（2）∵S_m=
m(m+1)
2，T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1
由S_m=T₁₂，∴
m(m+1)
2=2¹²-1，∴m²+m-8190=0．
∴m=90，m=-91（舍），∴m=90．
（3）反证法：假设{b_n}中存在三项b_i，b_j，b_k（i＜j＜k）组成等差数列，∴2b_j=b_i+b_k
∴2×2^j-1=2^i-1+2^k-1，（※）∵i＜j＜k，∴j-i∈N^*，k-i∈N^*
∴2^j-i+1=2^k-i+1．∵2^j-i+1是偶数，2^k-i+1是奇数，∴等式（※）不成立．∴反设不真．
∴{b_n}中不存在三项构成等差数列．