求y=lnsinx的导数详解
在微积分的学习中，求复合函数的导数是一项核心技能。题目要求函数 y = ln(sin x) 的导数。这是一个典型的复合函数，其结构可以理解为外层函数是自然对数函数 ln(u)，内层函数是三角函数 u = sin x。求解此类问题的关键在于熟练运用链式法则。链式法则指出，对于复合函数 y = f(g(x))，其导数等于外层函数对内层函数的导数，乘以内层函数对自变量的导数，即 y' = f'(g(x)) * g'(x)。
具体求解步骤与结果
首先，我们明确外层函数 f(u) = ln u，其导数为 f'(u) = 1/u。内层函数为 u = g(x) = sin x，其导数为 g'(x) = cos x。接下来，根据链式法则，将两部分相乘：y' = (1 / sin x) * cos x。这个结果可以简化为 cos x / sin x。而在三角函数中，cos x / sin x 正是余切函数 cot x 的定义。因此，我们得到最终简洁的结果：函数 y = ln(sin x) 的导数为 y' = cot x。
需要特别注意的是，这个导数的成立是有定义域限制的。因为原函数 y = ln(sin x) 要求真数 sin x > 0，所以其自然定义域为 (2kπ, (2k+1)π)，其中 k 为整数。相应地，其导数 y' = cot x 也只在同样的区间内有意义。理解每一步背后的数学原理，而不仅仅是记住最终公式，对于掌握微积分思维至关重要。