映射f：Rn→R二阶连续可微，且Hesse（f）≥In，In为n阶单位方阵，证明：∇f：Rn→Rn可逆，且逆映射光滑，其
映射f：Rn→R二阶连续可微，且Hesse（f）≥In，In为n阶单位方阵，证明：∇f：Rn→Rn可逆，且逆映射光滑，其中∇f＝(
，
，…，
)为f的梯度．
| ∂f |
| ∂x1 |
| ∂f |
| ∂x2 |
| ∂f |
| ∂xn |
赞 bank98 幼苗
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解题思路：要证明∇f：Rn→Rn可逆，只需证明其雅可比行列式|J∇f|≠0，而这一雅可比矩阵实际上就是Hesse（∇f），这样就跟已知的Hesse（f）≥In联系起来，转化为正定矩阵即可．
证明：设F=∇f，F∈C1（Rn），
则有JF=Hesse（f），
由JF≥In，知xTJFx≥xTx，∀x∈Rn，
JF是正定矩阵，
∴|JF|≠0，
由反函数组的存在定理，F：Rn→Rn也是可逆映射，且其逆映射也是连续可微的，
结论得证．
点评：
本题考点： 梯度的概念与求解．
考点点评： 此题考查黑塞矩阵和雅可比矩阵与梯度的联系，同时也考查了正定矩阵的性质以及反函数组的存在定理，综合性很强．
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