还要继续吗
幼苗
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不存在,事实上都用不到双射这个很强的条件,只要是单射就够了（不必是满射）,因为如果f(x)在区间I上连续且是单射,就有f(x)在I上严格单调,因此f(x)的反函数也是区间I上的严格单调连续函数,并且和f(x)有相同的单调性.这两个结论一般都是以习题形式出现的,你可以自己证一下.
1年前
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zicong
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额，我没说清楚，我说的是拓扑学里的映射。所以没有“单调”这个概念，也没有“区间”。如果是拓扑里的映射，存在吗？我看书上说，连续的双射加上开映射或者闭映射的的限制就能得到逆映射也连续，但我就构造不出来——尝试了好多拓扑，好多映射——一个上述反例。
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还要继续吗
那就可以了，举反例最好用的就是离散拓扑和平庸拓扑了。从离散拓扑空间A到任何拓扑空间B的映射都是连续映射，这很容易证明，因此可以很任意的构造一个从离散空间到某一个拓扑空间的双射，它是连续的，但是其逆映射不连续，因为从B到A的映射，A中任意集合（都是开集）在B中的原像不一定是开集。
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zicong
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啊那勾起了一个我关于“映射”概念的问题： 一个从集合A｛1，2，3｝到集合B｛1，2｝的映射，定义为f(x)=x是可以的吗？对于“3”这个元素来说，它属于定义域A，但没有映射到B上面，这也叫映射吗？
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这个不满足映射的定义，因为映射的定义是对于任意的x属于A，在B中有且仅有唯一的y与之对应。在你的这个“映射”中，3属于A，但是在B中找不到与之对应的元素，所以这个不是映射。
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