如图10-1，已知抛物线y = 与x轴交于A、B两点，与y轴交于

（1）令x = 0得，y = 4，∴C（0，4）
∴OB=OC=4，∴B（4，0）…………………………………………1分
代入抛物线表达式得：
16a–8a + 4 = 0，解得a =
∴抛物线的函数表达式为 ………………………2分
（2）过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，

设P（x，0），△PMN的面积为S，则
PG= ，MG= ，PH= ，NH=
∴S=
=
=
= …………………………3分
=
∵ ，∴当x=1时，S有最大值是 ………………4分
∴△PMN的最大面积是 ，此时点P的坐标是（1，0）………………5分
（3）存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况：
①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA
由抛物线 得：A（–2，0），对称轴为直线x = 1
∴OA=2，OC=4，OD=1
①若△DOE∽△AOC，则
∴ ，解得O E=2
∴点 E的坐标是（0，2）或（0，–2）
若点E的坐标是（0，2），则直线DE为：
解方程组
得： ， （不合题意，舍去）
此时满足条件的点F ₁ 的坐标为（ ， ）……………………6分
若点E的坐标是（0，–2），
同理可求得满足条件的点F ₂ 的坐标为（ ， ）…………7分
②若△DOE∽△COA，
同理也可求得满足条件的点F ₃ 的坐标为（ ， ）……………8分
满足条件的点F ₄ 的坐标为（ ， ）………………………………9分
综上所述，存在满足条件的点F，点F的坐标为：
F ₁ （ ， ）、F ₂ （ ， ）、F ₃ （ ，
或F ₄ （ ， ）．

略