手上没有公式编辑器,只能这么写了.

这个是最简单的抛物方程,用分离变量法做
(1)把u(x,t)=f(x)g(t)带入方程,可以得到:
f(x)g'(t) = f''(x)g(t),即
f''(x)/f(x) = g'(t)/g(t),两边分别只和x,t有关
于是可以知道两边都只能等于常数k,
于是得到
f''(x) = kf(x)
g'(t) = kg(t)
带入初始条件,可以知道f(x)必然是三角函数,常数是pi的倍数
(2) 于是f(x) = C*sin(k*pi*x),k为任意整数,C为常数
g(t) = exp(k*pi*t)
(3) u = Sigma_k sin(k*pi*x)*exp(k*pi*t)*C(k) Sigma表示求和
带入u(x,0)的表达式,解出
u(x,t) = exp(pi*t)*sin(pi*x) + 1/2*exp(3*pi*t)*sin(pi*x)