已知{a n }是公差为d的等差数列，{b n }是公比为q的等比数列

（1）由a _m +a _m+1 =a _k ，得6m+6+3k+1，
整理后，可得 k-2m=
4
3 ，∵m、k∈N，
∴k-2m为整数∴不存在n、k∈N ^* ，使等式成立．
（2）当m=1时，则b ₁ •b ₂ =b _k ，
∴a ² •q ³ =aq ^k ∴a=q ^k-3 ，即a=q ^c ，其中c是大于等于-2的整数
反之当a=q ^c 时，其中c是大于等于-2的整数，则b _n =q ^n+c ，
显然b _m •b _m+1 =q ^m+c •q ^m+1+c =q ^2m+1+2c =b _k ，其中k=2m+1+c
∴a、q满足的充要条件是a=q ^c ，其中c是大于等于-2的整数
（3）设b _m+1 +b _m+2 +…+b _m+p =a _k
当p为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，
当p为偶数时，（*）式不成立．
由（*）式得
3 m+1 (1- 3 p )
1-3 =2k+1 ，
整理得3 ^m+1 （3 ^p -1）=4k+2
当p=1时，符合题意．
当p≥3，p为奇数时，3 ^p -1=（1+2） ^p -1
=C _p ⁰ +C _p ¹ •2 ¹ +C _p ² •2 ² ++C _p ^p •2 ^p -1
=C _p ¹ •2 ¹ +C _p ² •2 ² ++C _p ^p •2 ^p
=2（C _p ¹ +C _p ² •2++C _p ^p •2 ^p-1 ）
=2[2（C _p ² +C _p ² •2 ² ++C _p ^p •2 ^p-2 ）+p]
∴由3 ^m+1 （3 ^p -1）=4k+2，得3 ^m+1 [2（C _p ² +C _p ² •2 ² ++C _p ^p •2 ^p-2 ）+p]=2k+1
∴当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立．
∴当p为奇数时，命题都成立．