（2013•宁波模拟）已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．

（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-[1/x]=[x−1/x]，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）为单调递增．
∴当x=1时f（x）取得极小值，f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值；
（2）∵f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，
∴ax-lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥[3/x]+[lnx/x]在x∈（0，e]上恒成立，
令g(x)＝
3
x+
lnx
x，x∈（0，e]，
则g′(x)＝−
3
x2+
1−lnx
x2＝−
2+lnx
x2，
令g′（x）=0，则x＝
1
e2，
当0＜x＜
1
e2时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，
当[1
e2＜x＜e时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，
∴g(x)max＝g(
1
e2)＝3e2−2e2＝e2，
∴a≥e²，即a的取值范围为a≥e²．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．

1年前

回答问题