高中数学题——抛物线004直线l过抛物线y^2=2px(p不等于0)的焦点，且与抛物线交于A(x1,y1) B(x2,y
高中数学题——抛物线004
直线l过抛物线y^2=2px(p不等于0)的焦点，且与抛物线交于A(x1,y1) B(x2,y2)两点。
(1)求证：4x1x2=p^2
(2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线。
直线l过抛物线y^2=2px(p不等于0)的焦点，且与抛物线交于A(x1,y1) B(x2,y2)两点。
(1)求证：4x1x2=p^2
(2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线。
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(1)设AB方程x=my+p/2，(m不存在时仅一交点，舍去)
带入椭圆方程，韦达定理，y1+y2=2mp,y1y2=-p^2
x1x2=(my1+p/2)(my2+p/2)=p^2/4
即4x1x2=p^2
(2)反证法，若CD中垂线为l，由于l过交点F，则
CF＝DF，由抛物线定义，C、D到准线距离相等
因此C、D具有相等的横坐标，得具有互为相反数的纵坐标，因而中垂线为x轴，与交于AB两点矛盾，因此假设不成立，原命题成立。
带入椭圆方程，韦达定理，y1+y2=2mp,y1y2=-p^2
x1x2=(my1+p/2)(my2+p/2)=p^2/4
即4x1x2=p^2
(2)反证法，若CD中垂线为l，由于l过交点F，则
CF＝DF，由抛物线定义，C、D到准线距离相等
因此C、D具有相等的横坐标，得具有互为相反数的纵坐标，因而中垂线为x轴，与交于AB两点矛盾，因此假设不成立，原命题成立。
1年前
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