证明当自然数n>=4时,n^3>3n^2+3n+1

1)假设当自然数n>=4时,n^3>3n^2+3n+1
当n=4时,4^3=64>3*4^2+3*4+1=61
令n=k时,k^3>3k^2+3k+1成立,k>=4
则n=k+1时,(k+1)^3=k^3+3*k^2+3*k+1>6k^2+6k+2
=3(k+1)^2+3(k+1)+1+(3k^2-3k-5)
因为k>=4,f(k)=3k^2-3k-5的对称轴为k=1/2
所以3k^2-3k-5>=31>0
所以(k+1)^3>3(k+1)^2+3(k+1)+1成立
所以当自然数n>=4时,n^3>3n^2+3n+1
2)假设当n是不小于5的自然数时,总有2^n>n^2
当n=5时,2^5=32>5^2=25
令n=k时,2^k>k^2,k>=5
则n=k+1时,2^(k+1)=2*2^k>2*k^2=(k+1)^2+k^2-2k-1
因为k>=5,f(k)=k^2-2k-1的对称轴为k=1
所以k^2-2k-1=14>0
所以2^(k+1)>(k+1)^2
所以当自然数n>=5时,总有2^n>n^2