在双曲线2y^2-x^2=1求一点P,使P点到直线x-2y=0的距离最小

设 x-2y=t,则x=t+2y,代入双曲线方程得
2y^2-(t+2y)^2=1
2y^2+4ty+t^2+1=0 （1）
Δ=(4t)^2-8(t^2+1)=0
解得 t=±1
因此,直线 x-2y±1=0与双曲线相切,切点到直线x-2y=0的距离最小.
将 t=1代入（1）解得 y=-1,相应的x=t+2y=-1；
将 t=-1代入（1）解得 y=1,相应的x=t+2y=1
所以,所求的P点坐标为(-1,-1)和(1,1),它们到直线x-2y=0的距离相等且最小,最小值为√5/5.

把直线x-2y=0平移到与双曲线2y^2-x^2=1相切时，得到直线x-2y＋n=0,然后与2y^2-x^2=1联立消去x,得到2y²－4ny＋n²＋1＝0,依题意判别式＝0，∴16n²－8﹙n²＋1﹚＝0,∴n＝±1,
此时y＝±1,∴点P为﹙1,1﹚，﹙－1，－1﹚。