（2014•历下区二模）已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4，B=60°．

（2014•历下区二模）已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4，B=60°．
点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动，运动时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．
（1）①当点N在CD上移动时，线段CQ=______（请用含t的代数式表示）．
（2）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使△AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

kingyen 1年前已收到1个回答举报

理智的小丁丁幼苗

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解题思路：（1）求出t的临界点t=2，分别求出当0＜t≤2时和2≤t＜4时，S与t的函数关系式即可，
（2）当0＜t≤2时，若△AMQ为等腰三角形，则MA=MQ或者AQ=AM，分别求出t的值，然后判断t是否符合题意．

（1）如图1，①当0＜t≤2时，
∵CD∥AB，AD=DC=BC=2，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∵∠B═∠C=60°，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠DCA=∠CAB=30°，
∵Rt△CNQ中，CN=t，∠DCA=30°，
∴NQ=

3
3t，CQ=
2
3
3t．
∵Rt△ABC中，BC=2，∠CAB=30°，
∴AC=2
3，
∴AQ=2
3-
2
3
3t（0＜t≤2）．
②当2≤t＜4时，
如图2：延长QN交CD的延长线于点F，
∵QN⊥CD，
∴∠QFC=90°．
∴DN=t-2，
∴FD=DN•cosFDN=DN•cos60°=[1/2]（t-2）
∴FC=CD+FD=2+[1/2]（t-2）=[1/2]t+1，
∴CQ=（[1/2]t+1）•
2
3
3

点评：
本题考点：四边形综合题．

考点点评：本题主要考查等腰梯形的性质的知识的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用．此题综合性很强，把图形的变换放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性质结合已知条件探究图形的变换，根据变换的图形的性质求出运动时间．

1年前

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