(2014•四川模拟)已知四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,

(2014•四川模拟)已知四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,PB=BC=CD=[1/2]AB.Q是PC上的一点,且PA∥平面QBD.
(1)确定Q的位置;
(2)求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.
yd530248246 1年前 已收到1个回答 举报

梦色变幻 花朵

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解题思路:(1)当PQ=2QC时,PA∥平面QBD,再利用空间几何知识进行证明;
(2)设BC=1,以B为坐标原点,以BC,BA,BP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,利用向量法能求出二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

(1)当PQ=2QC时,PA∥平面QBD,证明如下:
连结AC交BD于点M,
∵2CD=AB,CD∥AB,
∴AM=2MC
过PA的平面PAC∩平面QBD=MQ,
∵PA∥平面QBD,
∴AP∥MQ,
∴PQ=2QC.
(2)设BC=1,如图,以B为坐标原点,以BC,BA,BP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(其中点B与点O重合),则C(1,0,0),A(0,2,0),D(1,1,0),P(0,0,1).
∵PQ=2QC,∴Q([2/3],0,[1/3]),


BQ=(
2
3,0,
1
3),

DQ=(−
1
3,−1,
1
3),
设平而QBD的一个法向量为

n1=(x1,y1,z1),




n1•

点评:
本题考点: 用空间向量求平面间的夹角;与二面角有关的立体几何综合题.

考点点评: 本题考查满足条件的点的确定,考查二面角的平面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

1年前

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