在直角坐标系xoy中,点P到两点M(0,-√3),N（0,3）的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与曲线C

在直角坐标系xoy中,点P到两点M(0,-√3),N（0,√3）的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与曲线C交于A B两点（1）求轨迹C的方程；(2)若以A,B为直径的圆过原点,求K的值
(1)点P的轨迹是椭圆：c=√3,2a=4,a=2,b=1,故其方程为x²/4+y²=1.
(2)将直线方程y=kx+1代入椭圆方程得 x²/4+(kx+1)²=1,展开化简得：
(1+4k²)x²+8kx=[(1+4k²)x+8k]x=0；故得x₁=0,x₂=-8k/(1+4k²)；
因为以AB为直径的园过原点,故∠AOB=90°,即OA⊥OB；设A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂),则：
x₁+x₂=-8k/(1+4k²)；x₁x₂=0；
y₁y₂=(kx₁+1)(kx₂+1)=k²(x₁x₂)+k(x₁+x₂)+1=-8k²/(1+4k²)+1=(1-4k²)/(1+4k²)
向量的数量积OA▪OB=x₁x₂+y₁y₂=(1-4k²)/(1+4k²)=0
故得1-4k²=0,k²=1/4,k=±1/2.
【此题也可用更简单的方法求因为直线y=kx+1过定点(0,1)；而这一点正好是椭圆的上顶点；
又以AB为直径的园过原点,故直线y=kx+1必过椭圆的左顶点(-2,0)或右顶点(2,0)；过左顶点
时,k=1/2；过右顶点时k=-1/2】

(1)动点P到两定点距离之和为定值4，所以点P的轨迹为椭圆
c=√3
2a=4，a=2
勾股定理b=1
C的方程：x^2+y^2/4=1
(2)将y=kx+1代入x^2+y^2/4=1，得：(k^2+4)x^2+2kx- 3=0
x1+x2=-2k/(k^2+4) ,x1*x2=- 3/(k^2+4)
向量OA=(x1,y1)，向量OB=(...

动点到两定点距离之和为定值，所以C是椭圆
c=√3
2a=4，a=2
勾股定理b=1
C的方程：x^2/4+y^2=1