（2012•厦门模拟）已知：f(x)＝x+a+1x(a∈R)，g(x)＝lnx．

（I）求导函数，可得f′（x）=1-[a+1
x2
∴f′（1）=1-（a+1）=2，
∴a=-2；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-ag（x）=x+
a+1/x]-alnx（x＞0），则若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，等价于x∈[1，e]，F_min（x）＜0
求导函数可得F′（x）=
(x+1)[x−(a+1)]
x2
令F′（x）=0得x=a+1或x=-1（舍去）
∵a＞e-1，∴x=a+1＞e
∵x∈（0，a+1），F′（x）＜0，函数递减
∴F（x）在[1，e]上单调递减
∴F_min（x）=F（e）=e+[a+1/e−a＜0
∴a＞
e2+1
e−1]
∵a＞e-1，
e2+1
e−1＞e−1，∴a＞
e2+1
e−1
∴a的取值范围为(
e2+1
e−1，+∞)；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，则P，Q的横坐标均为x=
x1+x2
2
C₁在P处的切线斜率为k₁=[1/x]=[2
x1+x2；C₂在Q处的切线斜率为k₂=x+b=
x1+x2/2]+b
假设C₁在P处的切线与C₂在Q处的切线平行，则k₁=k₂，即[2
x1+x2=
x1+x2/2]+b
∴
2(x2−x1)
x1+x2=
x22−x12
2+b（x₂-x₁）=lnx₂-lnx₁，
∴ln

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的几何意义．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．

1年前

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