已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且有limn→∞（a11+q-qn）=[1/2]，求首项a1的取值范围．

lim
n→∞（
a1
1+q-qⁿ）=[1/2]，
∴
lim
n→∞qⁿ一定存在．∴0＜|q|＜1或q=1．
当q=1时，
a1
2-1=[1/2]，∴a₁=3．
当0＜|q|＜1时，由
lim
n→∞（
a1
1+q-qⁿ）=[1/2]得
a1
1+q=[1/2]，∴2a₁-1=q．
∴0＜|2a₁-1|＜1．∴0＜a₁＜1且a₁≠[1/2]．
综上，得0＜a₁＜1且a₁≠[1/2]或a₁=3．

点评：
本题考点： 等比数列的性质．

考点点评： 当limn→∞qn一定存在时，一定要注意分类讨论，当q=1时，limn→∞qn=1，当0＜|q|＜1时，limn→∞qn=0．