如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE

（1）∵AB是⊙O的直径，DE= AB，
∴OA=OC=OE=DE.
则∠EOD=∠CDB， ∠OCE=∠OEC.
设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.
又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°.
∴x+2x=108，x=36°. ∴∠CDB=36°；
（2）①有三个：△DOE， △COE， △COD.
∵OE=DE， ∠CDB=36°， ∴△DOE是黄金三角形；
②∵△COD是黄金三角形，∴
∵OD=2，∴OC= -1.
∵CD=OD=2，DE=OC= -1，
∴CE=CD-DE=2-( -1)=3- ；
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3（如图所示）。
ⅰ）以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线
分别交直线AB、CD得到点P ₁ 、P ₂ 。
ⅱ）以OE为腰的黄金三角形：点 P3与点A重合。