已知圆C的方程为x+y=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线

原题：已知圆C的方程为x2+y2=4,过点M（2,4）作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T：x/a+y/b=1（a>b>0)的右顶点和上顶点． （1）求椭圆T的方程； （2）已知直线l与椭圆T相交于P,Q两不同点,直线l方程为y=kx+√3(k＞0),O为坐标原点,求△OPQ面积的最大值． 分析：（1）利用点到直线的距离公式,求得另一条切线方程,与圆方程联立,从而可得直线AB的方程,由此可求椭圆T的方程；（2）直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理求出|PQ|,求出原点到直线l的距离,表示出三角形的面积,进而利用基本不等式,即可求得△OPQ面积的最大值． （1）由题意：一条切线方程为：x=2,设另一条切线方程为：y-4=k（x-2） 则：|4-2k|/√﹙k+1﹚=2,解得：k=3/4,此时切线方程为：y=3/4x+5/2 切线方程与圆方程联立,可得x+（3/4x+5/2）=4,从而可得x=-6/5,y=8/5,则直线AB的方程为x+2y=2 令x=0,解得y=1,∴b=1；令y=0,得x=2,∴a=2 故所求椭圆方程为x/4+y=1 （2）联立 y=kx+√3 x/4+y=1 整理得(1+4k)x+8√3kx+8=0,令P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则x1+x2=-8√3k/﹙1+4k﹚,x1x2=8/﹙1+4k﹚,△=(8√3k)-32(1+4k)＞0,即：2k-1＞0 又原点到直线l的距离为d=√3/√﹙1+k﹚,|PQ|=√﹙1+k﹚|x1-x2|,∴S△OPQ=1/2|PQ|d=√3/2|x1-x2|=√3/2√[(x1+x2)-4x1x2]=2√6√[﹙2k-1﹚/(1+4k)]=2√6√﹛﹙2k-1﹚/[4(2k-1)+12(2k-1)+9]﹜=2√6√﹛1/[4(2k-1)+12+9/﹙2k-1﹚]﹜≤1 当且仅当k=√5/2时取等号,则△OPQ面积的最大值为1． 点评：本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆相切,考查三角形面积的计算,考查基本不等式的运用,正确表示三角形的面积是关键． .