（2010•柳州）如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．

解题思路：（1）连接AC．欲求MN⊥BC，只需证MN∥AC即可．由于直径AB⊥CD，由垂径定理知E是CD中点，而M是AD的中点，故EM是△ACD的中位线，可得ME（即MN）∥AC，由此得证．
（2）由于∠A、∠C所对的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例关系，用未知数表示出它们的长．
连接BD，证△BDF∽△ABF，根据所得比例线段即可求得未知数的值（也可利用切割线定理求解），从而得到直径AB的长，也就能求出⊙O的半径．

（1）证明：
（方法一）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，
由垂径定理得，点E是CD的中点；
又∵M是AD的中点，
∴ME是△DAC的中位线，
∴MN∥AC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠MNB=90°，即MN⊥BC；
（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED=∠BEC=90°．
M是AD的中点，
∴ME=AM，即有∠MEA=∠A．
∵∠MEA=∠BEN，∠C=∠A，
∴∠C=∠BEN．
又∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠BEN=90°，
∴∠BNE=90°，即MN⊥BC；
（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED=90°．
由于M是AD的中点，
∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM．
又∵∠CBE与∠EDA同对

AC，∴∠CBE=∠EDA．
∵∠MED=∠NEC，
∴∠NEC=∠CBE．
∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠NEC+∠C=90°，
即有∠CNE=90°，即MN⊥BC．

（2）连接BD．
∵∠BCD与∠BAF同对

BD，∴∠C=∠A，
∴cos∠A=cos∠C=[4/5]．
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．
在Rt△ABF中，cos∠A=[AB/AF]=[4/5]，
设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x．
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴△ABF∽△BDF，
∴[BF/AF＝
DF
BF]，
即[3x/5x＝
3
3x]，
x=[5/3]．
∴直径AB=4x=4×[5/3＝
20
3]，
则⊙O的半径为[10/3]．

点评：
本题考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质等知识，难度适中．