丽港新珏 幼苗
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(1)f′(x)=-3x2+2ax.根据题意f′(1)=tan[π/4]=1,
∴-3+2a=1,即a=2.∴f′(x)=-3x2+4x=-3x(x−
4
3).
当f′(x)>0,得x(x−
4
3)<0,即0<x<[4/3];当f′(x)<0,得x(x−
4
3)>0,即x<0或x>[4/3].
∴f′(x)的单调递增区间是(0,
4
3),单调递减区间是(-∞,0)∪(
4
3,+∞);
(2)f′(x)=-3x(x−
2a
3).
①若a≤0,当x>0时,f′(x)<0,从而f(x)在(0,+∞)上是减函数,
又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.
∴当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0;
②当a>0,则当0<x<[2a/3]时,f′(x)>0,当x>[2a/3]时,f′(x)<0.
从而f(x)在(0,
2a
3)上单调递增,在(
2a
3,+∞)上单调递减.
∴当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f(
2a
3)=-
8a3
27+
4a3
9-4=
4a3
27-4.
据题意,
4a3
27-4>0,即a3>27,∴a>3.
故a的取值范围是(3,+∞).
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调性,是一道中档题.
1年前
1年前1个回答
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