直径所对的圆周角是直角：一个经典的几何定理
在平面几何中，“直径所对的圆周角是直角”是一个基础而重要的定理，通常被称为“圆周角定理”的推论或“泰勒斯定理”。其完整表述为：在一个圆中，如果一条弦是直径，那么这条直径所对的圆周角等于90度。换言之，若三角形的一个顶点在圆上，其对边是圆的直径，则这个顶点处的角必然是直角。这个定理简洁而优美，是连接圆与三角形性质的关键桥梁之一，在解决许多几何证明和计算问题时发挥着核心作用。
定理的证明与理解
该定理的证明非常直观。如图所示，设AB为圆O的直径，C为圆上任意一点（不与A、B重合）。连接OA、OB、OC。由于OA、OB、OC都是半径，所以OA=OB=OC。在三角形AOC和BOC中，根据等腰三角形的性质，角OAC等于角OCA，角OBC等于角OCB。又因为三角形ABC的内角和为180度，且角AOC与角BOC构成了圆心角，通过简单的角度代换即可推导出角ACB（即直径AB所对的圆周角）等于90度。这个证明过程清晰地揭示了圆半径相等这一特性如何导致了直角的必然出现。
该定理的应用极其广泛。它不仅是证明直线垂直或角度为直角的有效工具，也是许多复杂几何图形推理的起点。例如，在确定直角三角形的外接圆时，其斜边正是外接圆的直径，这一定理提供了逆命题也成立的依据。理解并熟练运用这一定理，能极大地简化解题思路，是几何学习从具体计算迈向逻辑推理的重要一步。