设三阶矩阵A满足A2=E（E为单位矩阵），但A≠±E，试证明：（秩（A-E）-1）（秩（A+E）-1）=0．

解题思路：首先根据A2=E，证明出 r（A+E）+r（A-E）=3，然后再证明结论．

证明：∵A²=E
∴0=（A-E）（A+E）
∴0=r（（A+E）（A-E））≥r（A+E）+r（A-E）-3
∴r（A+E）+r（A-E）≤3
而 r（A+E）+r（A-E）=r（A+E）+r（E-A）≥r（A+E+E-A）=r（2E）=3
∴r（A+E）+r（A-E）=3．
又因为 A≠±E，
∴r（A+E）≠0，r（A-E）≠0
∴r（A+E），r（A-E）中有一个为1
∴（秩（A-E）-1）（秩（A+E）-1）=0．

点评：
本题考点： 矩阵的秩的性质．

考点点评： 此题考查矩阵乘法的秩的性质的运用，属于基础知识点．

~~~~~~~~~~| 1 | | 1 |
A = ~~~~ | -1 | or | 1 |
~~~~~ | -1 | | -1|
[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0 说明 R(A-E)=1或者R(A+E)=1
你想想E是什么样~ 能使A-E或者A+E秩...

楼上的讲法存在巨大的逻辑跳跃，可以认为是错的。
合理的步骤是，先利用A^2=E证明A可对角化（因为极小多项式没有重根），特征值是1或-1，然后根据条件得这两个特征值的重数一个是一重的另一个是两重的。
楼上的做法跳过了可对角化的证明而直接考虑相似标准型，事实上A有无穷多种可能。...