如图,AB、AC分别于圆O切于点B和C,P是圆O上一点,且PD垂直于AB,PE垂直于AC,PF垂直于BC,且PD=6cm

解这个题可通过证△DPF∽△FPE
得DP PF
—= —
FP PE
PF²=PD*PE=24
PF=2根号6
连DF,BP,EF,PC
∵四边形DPFB
∴∠DPF+∠DBC+∠PDB+∠PFB=360°
∵PD⊥AB,PF⊥BC
∴∠PDB=∠PFB=90°
∴∠DPF+∠DBC=180°
∵四边形PECF
∴∠PEC+∠ECF+∠PFC+∠EPF=360°
∵PE⊥AC,PF⊥BC
∴∠PEC=∠PFC=90°
∴∠EPF+∠FCE=180°
∴∠EPF=∠DPF ………………一对角相等
∠PDF为∠1,∠PBC为∠2
∠PFe为∠3,∠PCE为∠4,
∵P、F、C、E四点共圆
∴∠3=∠4
∵D、P、F、B四点共圆
∴∠1=∠2
连CO并延长交圆O于点Q,连PQ
∠PCQ为∠5
∵AC切圆O于C
∴ECQ=90°
∴∠4+∠5=90°
∵直径CQ
∴∠QPC=90°
∴∠5+∠Q=90°
∴∠4=∠Q
∵弧PC=弧PC
∴∠2=∠Q
∴∠4=∠2 ………………第二对角相等
∵∠4=∠2,∠DPF=∠EPF
∴△DPF∽△FPE
∴ DP PF
—= —
FP PE
∴PF²=PD*PE=24
∴ PF=2根号6 cm

连接AP

∵S△APB+ S△APC+ S△BPC= S△ABC

又∵S△APB=AB*DP/2=AB*6/2=3AB

S△APC=AC*PE/2=AC*4/2=2AC

S△BPC=BC*PF/2

又∵△ABC的高=√(AB2-(BC/2)2)

∴S△ABC=√(AB2-(BC/2)2)*BC

∴3AB+2AC+ BC*PF/2=√(AB2-(BC/2)2)*BC

又∵AB和AC与⊙O相切

∴AB=AC

∴原式为3AB+2AB+ BC*PF/2=√(AB2-(BC/2)2)*BC

5AB+BC*PF/2=√(AB2-(BC/2)2)*BC

两边同时平方，得

25AB2+ BC2*PF2/4=（AB2-BC2/4）*BC

52*AB2+ BC2*PF2/4= AB2* BC2- BC2 *BC2/4

∴BC2 =52=25PF2= BC2

∴PF2=25

∴PF=5