已知关于x的一元二次方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两根分别是tanα，tanβ．求tan（α+β）的取值范

解题思路：利用韦达定理，有tanα+tanβ＝−

2m−3

m

，tanαtanβ＝

m−2

m

，根据两角和的正切公式，将tan（α+β） 展开，最后化成关于m的函数，求出范围，注意一元二次方程根存在的条件是△≥0．

由题意，可得

m≠0
△＝(2m−3)2−4m(m−2)≥0
解得m≤
9
4且m≠0．　　
由韦达定理有tanα+tanβ＝−
2m−3
m，tanαtanβ＝
m−2
m
∴tan(α+β)＝
tanα+tanβ
1−tanαtanβ＝−m+
3
2，
又m≤
9
4且m≠0，从而求得tan（α+β）的取值范围是[−
3
4，
3
2)∪(
3
2，+∞)．

点评：
本题考点： 两角和与差的正切函数；二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根存在的条件，两角和的正切公式的应用，函数思想及函数值域求解．是道好题．

由b方-4ac=4（m-1）方+17 恒大于0 所以 m可以取任意数
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)
根据方程两根之和 为tana+tanb=（3-m）/m tana*tanb=m/(m-2)
带入得
tan(a+b)= (tana+tanb)/(1-tana*tanb)=(m-3)(m-2)/2m=(m方-5m+6)/m=
m-5+6/m>=2-5=-3
最小值为-3

由 b^2-4ac>=0
可以得到 m<=9/4
tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)];
而tan(a)+tan(b)=-m/(2m-3);
tan(a)*tan(b)=m/(m-2);
等到 tan(a+b)=-15/8