如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，AB=BC=2，E、F分别是棱BC、BB1上一点，BE=BF=1，经过D、E、

解题思路：（1）由已知条件推导出面BCC₁B₁∥面ADD₁A₁，EF∥DG，从而得到∠BEF=∠ADG，由此能求出AG．
（2）几何法：在平面ABB₁A₁内作AH⊥FG，垂足为H，连接DH，则∠AHD是二面角A-FG-D的平面角，由此能求出二面角A-FG-D的余弦值．
（2）向量法二：以B为原点，BC、BA、BB₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-FG-D的余弦值．

（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴面BCC₁B₁∥面ADD₁A₁…（1分）
∵DEFG在同一平面上，∴EF∥DG…（2分），
∴∠BEF=∠ADG…（3分）
由已知得△BEF和△ADG都是等腰直角三角形，
∴AG=AD=2．…（4分）
（2）几何法：
在平面ABB₁A₁内作AH⊥FG，垂足为H，
连接DH…（5分）
∵AD⊥面ABB₁A₁，∴AD⊥FG…（6分）
∵AD∩AH=A，∴AD⊥面ADH…（7分）
∴FG⊥AH，
∴∠AHD是二面角A-FG-D的平面角…（8分）
在△AFG中，AF＝FG＝
5，AG=2…（9分）
由余弦定理得cos∠AFG＝
3
5…（11分）
∴sin∠AFG＝
4
5，
AH＝AF×sin∠AFG＝
4
5
5…（12分）
∴DH＝
AH2+AD2＝
6
5
5…（13分），
cos∠AHD＝
AH
DH＝
2
3，
∴二面角A-FG-D的余弦值为[2/3]．…（14分）
（2）向量法：
以B为原点，BC、BA、BB₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系…（5分），
平面AFG的一个法向量为

n1＝(1，0，0)…（6分）
由题意知D（2，2，0），E（1，0，0），F（0，0，1），…（7分）
设平面DFG即平面DEF的一个法向量为

n2＝(a，b，c)，
则



n2•

DE＝0


n2•

EF＝0…（9分），
即

a+2b＝0
−a+c＝0…（11分），a=c=-2b，不妨取

n2＝(2，−1，2)…（12分）
∴二面角A-FG-D的余弦值cosθ＝
|

n1•

n2|
|

n1|•|

n2|＝
2
3…（14分）

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．