中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之

解题思路：（Ⅰ）根据半焦距c=

13

，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程．
（Ⅱ）由椭圆、双曲线的定义求出PF₁与PF₂的长，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值．

（Ⅰ）由题意知，半焦距c=
13，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a-4，
离心率之比为[3/7]=


13
a


13
a-4，
∴a=7，
∴椭圆的短半轴等于
49-13=6，
双曲线虚半轴的长为
13-9=2，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：

x2
49+
y2
36=1和
x2
9-
y2
4=1．
（Ⅱ）由椭圆的定义得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由双曲线的定义得：PF₁-PF₂=±6，
∴PF₁与PF₂中，一个是10，另一个是 4，不妨令PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2
13，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：(2
13)2=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=[4/5]．

点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆、双曲线标的定义应用和标准方程的求法，以及利用余弦定理解三角形．