中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F 1 ，F 2 ， | F 1 F 2 |=2 13 ，椭圆
中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F 1 ，F 2 ， | F 1 F 2 |=2
（1）求这两曲线方程； （2）若P为两曲线的交点（P在第一象限），求
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（1）由题意知，半焦距c=
13 ，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a-4，
离心率之比为
3
7 =
13
a
13
a-4 ，
∴a=7，
∴椭圆的短半轴等于
49-13 =6，双曲线虚半轴的长为
13-9 =2，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：
x 2
49 +
y 2
36 =1 和
x 2
9 -
y 2
4 =1 ．
（2）由椭圆的定义得：PF 1 +PF 2 =2a=14，
由双曲线的定义得：PF 1 -PF 2 =6，
∴PF 1 =10，PF 2 =4，
又F 1 F 2 =2
13 ，三角形F 1 PF 2 中，利用余弦定理得： (2
13 ) 2 =100+16-80cos∠F 1 PF 2 ，
∴cos∠F 1 PF 2 =
4
5 ．
则
P F 1 •
P F 2 = |
P F 1 |•|
P F 2 | cos∠F 1 PF 2 =10×4×
4
5 =32．
13 ，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a-4，
离心率之比为
3
7 =
13
a
13
a-4 ，
∴a=7，
∴椭圆的短半轴等于
49-13 =6，双曲线虚半轴的长为
13-9 =2，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：
x 2
49 +
y 2
36 =1 和
x 2
9 -
y 2
4 =1 ．
（2）由椭圆的定义得：PF 1 +PF 2 =2a=14，
由双曲线的定义得：PF 1 -PF 2 =6，
∴PF 1 =10，PF 2 =4，
又F 1 F 2 =2
13 ，三角形F 1 PF 2 中，利用余弦定理得： (2
13 ) 2 =100+16-80cos∠F 1 PF 2 ，
∴cos∠F 1 PF 2 =
4
5 ．
则
P F 1 •
P F 2 = |
P F 1 |•|
P F 2 | cos∠F 1 PF 2 =10×4×
4
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