（2014•海南模拟）已知a，b均为正数，且a+b=1，证明：

解题思路：（1）将所证的关系式作差（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy利用a+b=1，整理，可得a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x-y）²≤0，当且仅当x=y时等号成立；
（2）将所证的不等式左端展开，转化为(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2＝4+a 2+b2+(

1

a2

+

1

b2

)，进一步整理后，利用基本不等式即可证得结论成立．

证明：（1））（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy，
因为a+b=1，
所以a-1=-b，b-1=-a，又a，b均为正数，
所以a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x²+y²-2xy）=-ab（x-y）²≤0，当且仅当x=y时等号成立；
（2）(a+
1
a)2+(b+
1
b)2＝4+a 2+b2+(
1
a2+
1
b2)
=4+a2+b2+
(a+b)2
a2+
(a+b)2
b2＝4+a2+b2+1+
2b
a+
b2
a2+
a2
b2+
2a
b+1
=4+(a2+b2)+2+2(
b
a+
a
b)+(
b2
a2+
a2
b2)≥4+
(a+b)2
2+2+4+2＝
25
2．
当且仅当a=b时等号成立．

点评：
本题考点： 不等式的证明．

考点点评： 本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力，属于难题．