已知函数f（x）=xlnx，（1）求函数f（x）的单调区间和最小值．（2）若函数F（x）=f(x)−ax在[1，e]上的

解题思路：（1）由已知得f′（x）=lnx+1（x＞0），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和最小值．
（2）F′（x）=

x+a

x2

，由此根据实数a的取值范围进行分类讨论，结合导数性质能求出a的值．

解（本小题满分12分）
（1）∵f′（x）=lnx+1（x＞0），
令f′（x）≥0，即lnx≥-1=lne^-1．
∴x≥e^-1=[1/e]，∴x∈[[1/e]，+∞）．
同理，令f′（x）≤0，可得x∈（0，[1/e]]．
∴f（x）单调递增区间为[[1/e]，+∞），单调递减区间为（0，[1/e]]，
由此可知y=f（x）_min=f（[1/e]）=-[1/e]．
（2）F′（x）=[x+a
x2，
当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x）_min=F（1）=-a=
3/2]，
∴a=-[3/2]∉[0，+∞），舍去．
当a＜0时，F（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增，
若a∈（-1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x）_min=F（1）=-a=[3/2]，
∴a=-[3/2]∉（-1，0），舍去；
若a∈[-e，-1]，F（x）在[1，-a]上单调递减，在[-a，e]上单调递增，
∴F（x）_min=F（-a）=ln（-a）+1=[3/2]，
a=-
e∈[-e，-1]；
若a∈（-∞，-e），F（x）在[1，e]上单调递减，
F（x）_min=F（e）=1-[a/e＝
3
2]，
∴a=-[e/2]∉（-∞，-e），舍去．
综上所述：a=-
e．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调区间的最小值的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．