已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x．

解题思路：（1）要证A=PBP^-1，只需证明AP=PB，将AP代入进去，化简成PB的形式，就可以知道B；
（2）要求|A+E|，而A是未知的矩阵，因此必须从（1）的结论A=PBP^-1入手，知A～B，容易得到A+E～B+E，而|B+E|可以求出来．

（1）
由于AP=PB，
即：A（x，Ax，A²x）=（Ax，A²x，A³x）=（Ax，A²x，3Ax-2A²x）=(x，Ax，A2x)

000
103
01−2，
从而：AP=P

000
103
01−2，
所以：B＝

000
103
01−2．

（2）由（1）知：A=PBP^-1
∴A+E=PBP^-1+PEP^-1=P（B+E）P^-1
∴|A+E|=|P（B+E）P^-1|=|P|•|B+E|•|P^-1|=|P|•|P^-1|•|B+E|=|PP^-1|•|B+E|=|B+E|
从而：|A+E|＝|B+E|＝
.
100
113
01−1.＝−4．

点评：
本题考点： 向量组线性无关的判定与证明；相似矩阵的性质．

考点点评： 此题第一问是考查将矩阵分解成两个矩阵相乘；第二问是考查相似矩阵的行列式相等性质的运用．