已知函数f（x）=ax 2 +x+1（a∈R）

（Ⅰ）当a=
1
4 时，方程
1
4 x ² +x+1=0的△=1-4a=0，
则不等式
1
4 x ² +x+1＞0的解为：{x|x≠-2}；
当a∈（0，
1
4 ]时，方程ax ² +x+1=0的△=1-4a＞0，∴方程的解是 x=
-1±
1-4a
2a ，
ax ² +x+1＞0的解集为：{x| x＞
-1+
1-4a
2a 或 x＜
-1-
1-4a
2a }，
综上，不等式f（x）＞0的解集：{x| x＞
-1+
1-4a
2a 或 x＜
-1-
1-4a
2a }，
（Ⅱ）∵方程f（x）=0至少有一个负根，
∴方程f（x）=0有一个负根或有两个负根，
当a=0时，方程变为x+1=0，得x=-1，故符合题意；
当a≠0时，方程的两个根设为：x ₁ ，x ₂ ，
则

△=1-4a≥0
x 1 +x 2 =-
1
a ＜0
x 1 •x 2 =
1
a ＞0 或

△=1-4a≥0
x 1 •x 2 =
1
a ＜0
解得，a＜0或0＜a≤
1
4 ，
综上得，a的取值范围是：（-∞，
1
4 ]．