如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C 1 与经过

（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在， ；（3）-1或- .


试题分析：（1）将y=mx ² -2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C ₁ 的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM ² ，BD ² ，MB ² ，再分两种情况：①DM ² +BD ² =MB ² 时；②DM ² +MB ² =BD ² 时，讨论即可求得m的值．
试题解析：（1）y=mx ² -2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y=0时，x ₁ =-1，x ₂ =3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）设C ₁ ：y=ax ² +bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
，解得 ，
故C ₁ ：y= x ² -x- ．
依题意，设点P的坐标为（n， n ² -n- ）(0则S _{∆ PBC} =S _{∆ POC} +S _{∆ BOP} -S _{∆ BOC} = × ×n+ ×3×(- n ² +n+ )- ×3×
=- (n- ) ² +
∵- ＜0,
∴当n= 时S _{∆ PBC} 的最大值是
（3）y=mx ² -2mx-3m=m（x-1） ² -4m，顶点M坐标（1，-4m），
当x=0时，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM ² =（0-1） ² +（-3m+4m） ² =m ² +1，
MB ² =（3-1） ² +（0+4m） ² =16m ² +4，
BD ² =（3-0） ² +（0+3m） ² =9m ² +9，
当△BDM为Rt△时有：DM ² +BD ² =MB ² 或DM ² +MB ² =BD ² ．
①DM ² +BD ² =MB ² 时有：m ² +1+9m ² +9=16m ² +4，
解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM ² +MB ² =BD ² 时有：m ² +1+16m ² +4=9m ² +9，
解得m=- （m= 舍去）．
综上，m=-1或- 时，△BDM为直角三角形．
考点: 二次函数综合题．