已知函数f（x）=[1+lnx/x]．

解题思路：（1）因为f（x）=[1+lnx/x]，x＞0，则f′(x)＝−

lnx

x2

，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（t，t+[1/2]）（其中t＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．
（2）不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥a恒成立，构造函数g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用导数知识能求出实数k的取值范围．

（1）因为f（x）=[1+lnx/x]，x＞0，则f′(x)＝−
lnx
x2，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（t，t+[1/2]）（其中t＞0）上存在极值，
所以

t＜1
t+
1
2＞1，解得[1/2]＜t＜1．
（2）不等式f（x）≥
a
x+1恒成立，即为
(x+1)(1+lnx)
x≥a恒成立，
记g（x）=
(x+1)(1+lnx)
x，所以g′(x)＝
[(x+1)(1+lnx)]′x−(x+1)(1+ln x)
x2=[x−lnx
x2
令h（x）=x-lnx，
则h′(x)＝1−
1/x]，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以a≤2．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用．