【急】三个组合恒等式求证明C(r,r)+C(r,r+1)+C(r,r+2)+,+C(r,n)=C(r+1,n+1)C(r

第二题

∵(1+x)^m*(1+x)^n=(1+x)^(m+n)
∴展开式中x^r的系数，右边=C(m+n,r) 左边=C(m,r)*C(n,0)+C(m,r-1)*C(n,1)+…+C(m,0)*C(n,r)
得证

第三题：

考察
（1+x)^(2n)的展开式
其中，x^n的系数为 C(2n,n)

（1+x)^(2n)=(1+x)^n（1+x)^n
要得到x^n，可以是前一个展开式中的0次和后一个展开式中的n次相乘
可以是前一个展开式中的1次和后一个展开式中的n-1次相乘
可以是前一个展开式中的2次和后一个展开式中的n-2次相乘
。。。。。
可以是前一个展开式中的n次和后一个展开式中的0次相乘
所以 x^n的系数为C(n,0)*C(n,n)+C(n,1)*C(n,n-1)+.......+C(n,n)*C(n,0)
=C(n,0)(平方)+C(n,1)(平方)+C(n,2)(平方)+......+C(n,n)(平方)

所以 C(n,0)(平方)+C(n,1)(平方)+C(n,2)(平方)+......+C(n,n)(平方)=C(2n,n)

如果不明白就继续问我昂。。嘿嘿。。。