已知非齐次线性方程组X1+X2+X3+X4=-1有3个线性无关的解.

证:设β1,β2,β3是非齐次线性方程组的3个线性无关的解
则 β3-β1,β3-β2 是其导出组的线性无关的解
所以 4-r(A) >= 2
所以 r(A)=2.
综上有 r(A) = 2.
增广矩阵 =
1 1 1 1 -1
4 3 5 -1 -1
a 1 3 b 1
r2-4r1,r3-ar1
1 1 1 1 -1
0 -1 1 -5 3
0 1-a 3-a b-a 1+a
r1+r2,r3+(1-a)r2
1 0 2 -4 2
0 -1 1 -5 3
0 0 4-2a b+4a-5 4-2a
因为 r(A)=2,所以 a=2,b=-3.
此时,增广矩阵化为
1 0 2 -4 2
0 1 -1 5 -3
0 0 0 0 0
方程组的通解为:(2,-3,0,0)'+c1(-2,1,1,0)'+c2(4,-5,0,1)'.